. ..

wx

. .5

yz

第一章Maple 系统简介

> evalm(a+b);

. ..

2+ w 3+ x

1+ y 4+ z

. ..

> evalm(a &* b);

. ..

2 w +3 y 2 x +3 z

w +4 yx +4 z

. ..

极限, 求和与乘积

对于普通的求极限问题, 可以直接用Maple 来计算, 它还可以符号的计算级数的和与积. 当

符号计算不成功时, 还可以作数值计算.

> limit((sqrt(1+x)-1)/x,x=);

1

2

> limit(x!/x^x,x=infinity);

> sum(1/2^n, n=1..infinity);

1

> evalf(product(1+1/x^2, x=1..infinity));

3:6767791

微分与积分

用Maple 来求微分是相当容易的, 使用diff 命令即可以求出数学表达式的微分, 不过求出

的结果可能是相当复杂, 因此通常还要用simplify 命令进行化简. 求数学表达式的定积分和不

定积分就相对复杂一些, 需要某些特定的算法. 对于复杂的函数, 求出的结果可能是某些特殊函

数. 对于定积分, 还可以用evalf 求出积分的数值.

> simplify(diff((x-1)/(x^2+1),x));

x2 . 1 . 2 x

. (x2 + 1)2

> diff(sin(x*y),x);

cos(xy) y

> int(1/(1+x+x^2),x);

21

p3 arctan( (2 x + 1) p3)

33

1.3 Maple 的基本功能7

> int(sin(x^2),x=a..b);

1

FresnelS( b p2) p2 pπ .

1

FresnelS(a p2) p2 p

2 pπ 2 pπ

> int(sin(x)/x,x=..5);

Si(5)

> evalf(%);

1:549931245

微分方程

对于不太复杂的常微分方程,Maple 可以求出它的符号解. 如果你没有给初始条件, 或者给

的初始条件或边界条件不全, 在解的公式中会带有积分常量.

> deq:=diff(y(x),x)*y(x)*(1+x^2)=x;

deq := ( . y(x)) y(x)(1 + x 2)= x

@x

> dsolve(fdeq,y()=g,fy(x)g);

y(x)= pln(1 + x2), y(x)= ..pln(1 + x2)

> dsolve((y(x)^2-x)*D(y)(x)+x^2-y(x)=,fy(x)} );

11

x 3 . y(x) x + y(x)3 = C1

33

级数展开

当数学问题比较复杂时, 求出准确解通常是不可能的, 用series 作级数展开是有帮助的.

> series(sin(x),x=, 1);

11 5 11 1)

x . 6 x 3 +

12 x . 54 x 7 +

36288 x 9 + O(x

例如在下列微分方程中, 就是用级数方式求出的微分方程级数解.

> Order:=1:

> deq:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+y(x)=x+sin(x );

@2 @

deq :=( y(x))+( y(x)) + y(x)= x + sin(x)

@x2 @x

> sln1:=dsolve(fdeq, y()=, D(y)()=g,fy(x)g,series);

1 3 1 4 1 5 +

1 6 1 7 1 8 +

1 1)

sln1 := y(x)=

3 x . 12 x . 12 x 24 x . 54 x . 216 x 18144 x 9 + O(x

第一章Maple 系统简介

Laplace 和Fourier 变换

Laplace 变换和Fourier 变换是常用的数学变换. 在Maple 中有一个积分变换的程序包

inttrans 提供了各种积分变换和它们的逆变换.

> with(inttrans):

> laplace(cos(t-a),t,s);

s cos(a) + sin(a)

s2 +1

> invlaplace(%,s,t);

cos(a) cos(t) + sin(a) sin(t)

> combine(%,trig);

cos(t . a)

> alias(sigma=Heaviside):

> f:=sigma(t+1)-sigma(t-1):

> g:=simplify(fourier(f,t,w));

g := 2 I (π Dirac(w) w . I) sin(w)

w

插值与函数拟合

interp命令可以由n 个点出发计算n . 1 阶的插值多项式. 在下例中,x 的取值是1 到1,

y 的值是1 到1 之间的1 个随机数.f 是相应的插值多项式.

> datax:=[seq(i,i=1..1)]:

> datay:=[seq(rand(1)(),i=1..1)]:

> dataxy:=zip((x,y)->[x,y], datax, datay);

dataxy := [[1, 1], [2, ], [3, 7], [4, 3], [5, 6], [6, 8], [7, 5], [8, 8], [9, 1], [1, 9]]

> f:=interp(datax, datay, x);

17 9 517 11699 7 3719 27323 176741 4 652577 3f :=

5184 x . 432 x 8 +

648 x . 288 x 6 +

1728 x 5 +

576 x . 324 x

1816483 2 1669153

+ xx + 293

336 . 252

使用数值逼近程序包numapprox 中的pade 命令可以计算一个给定函数的有理逼近函数,

以及其它类型的逼近函数.

> with(numapprox):

> x:=solve(x^2=Pi/2)[1];

x :=

1 p2 p

2

1.3 Maple 的基本功能9