피타고라스 정리의 증명 과정을 논하다.

피타고라스 정리 ('피타고라스 정리' 라고도 함) 는 "직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 두 직각 변의 제곱의 합과 같다" 고 말했다. 고증에 의하면, 인류는 이 정리가 적어도 4000 년은 되었다는 것을 알고 있다! 이 정리는 전 세계에 300 여 개의 증거가 있다는 것도 기재되어 있다!

물론 이 정리가 중요하다는 것을 증명할 수 있다고 생각합니다. 그래서 많은 사람들이 연구했습니다. 그러나 많은 것을 증명하고, 동시에 현란하고, 정리 자체와 증명의 수학적 의미를 반영하지 못했다. 그래서, 이 문장 에서 나 는 당신 에 대한 분석 과 감상 이 증명 의 특징 을 이해 하 고 그 역사 배경 이 중요 한 7 개 증명 을 선택 했 다.

하나를 증명하다

그림 1

그림 1 에서 D ABC 는 직각 삼각형입니다. 여기서? A 는 직각이다. 우리는 각각 ab, BC, AC 가장자리에 ABfg, BCED, ACKH 세 개를 그렸다. 점 A 를 통해 선 AL 을 그려 DE 에 수직으로, L 과 교차하고, M 과 교차하면 D FBC 가 모두 D ABD(S.A.S) 와 같다는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 그래서 정사각형의 면적 ABFG = 2? FBC 의 면적 = 2? Dabad 의 면적 = 직사각형 BMLD 의 면적. 마찬가지로 사각형 ACKH 의 면적은 직사각형 MCEL 의 면적입니다. 즉, BCED 제곱 면적 ABFG 제곱 면적 ACKH 제곱 면적 (예: AB2+AC2 = BC2) 입니다. 이것은 피타고라스 정리를 증명한다.

이 증명은 전등삼각형과 삼각형 면적과 직사각형 면적의 관계를 교묘하게 이용했다. 뿐만 아니라' 두 직각변의 제곱합' 의 기하학적 의미를 더욱 구체적으로 설명했다. 즉, ML 로 정사각형을 BMLD 와 MCEL 두 부분으로 나누는 것이다!

이 증명의 또 다른 중요한 의미는 그것의 기원에 있다. 이 증거는 고대 그리스 수학 유클리드의 손에서 나온 것이다.

유클리드는 기원전 325 년에 태어나 기원전 265 년에 죽었다. 그는 고대 그리스의 문화 중심지인 알렉산더에서 일하여 그의 저서' 기하학 원본' 을 완성했다. "기하학 원본" 은 역대 수학 지식을 한데 모아 공리화 방법을 이용하여 연역체계를 세우는 획기적인 저작으로 후세 수학의 발전에 깊은 영향을 미쳤다. 책의 제 1 권, 명제 47 은 피타고라스 정리의 상술한 증거를 기록하였다.

증거 2

그림 2

그림 2 에서는 크기가 같은 직각 삼각형 네 개를 큰 정사각형에 넣고 큰 사각형 중간의 연한 노란색 부분도 정사각형임을 확인합니다. 직각 삼각형의 경사 변의 길이를 C 로 설정하고 다른 두 변의 길이는 A 와 B 이므로 큰 정사각형의 면적은 네 개의 직각 삼각형과 가운데 연한 노란색 정사각형의 면적 합과 같아야 하므로 우리는 가지고 있다.

(a+b)2 = 4( 1/2 ab)+C2

확장 a2+2ab+b2 = 2ab+c2

A2+b2 = C2 로 단순화

이로써 우리는 피타고라스 정리가 성립되었다는 것을 안다.

증명 2 는 매우 직설적인 증명으로 볼 수 있다. 가장 흥미로운 것은, 만약 우리가 그림에서 직각 삼각형을 뒤집고 아래 그림 3 으로 맞추면, 여전히 유사한 방법으로 피타고라스 정리를 다음과 같이 증명할 수 있다는 것이다.

그림 3

면적 계산은 C2 = 4( 1/2 ab)+(b-a)2 가 될 수 있습니다.

확장 = 2ab+b2-2ab+a2

단순화 된 C2 = a2+b2 (정리 증명)

그림 3 의 또 다른 중요한 의미는 이 증명서가 가장 먼저 중국인이 제기한 것이라는 것이다! 기록에 따르면 이것은 삼국 시대 (즉 기원 3 세기경) 오국의 조량이라고 한다. Zhao Shuang 은 "주간 병렬 컴퓨팅" 고전을 주석 할 때 위의 그림 3 에 "피타고라스 스퀘어 차트" (또는 "코드 차트") 라고 부르는 그림을 추가했습니다.

증거 3

그림 4

그림 4 1 * * 녹색 전등직각 삼각형 두 개와 연한 노란색 이등변 직각 삼각형 한 개를 그립니다. 전체 화면이 사다리꼴로 변했다는 것을 쉽게 알 수 있다. 사다리꼴 면적 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

1/2 (a+b) (b+a) = 2 (1/2ab)+1/2c2

확장된1/2 a2+a b+1/2 B2 = a b+1/2 C2.

단순화 a2+b2 = C2 (정리 증명)

이 증명서는 미국 대통령이 쓴 것이기 때문에 칭찬의 30 분의 증명이다!

188 1, 가필드 (제임스 A 가필드; 을 눌러 섹션을 인쇄할 수도 있습니다 1831-1881) 미국 제 20 대 대통령에 당선되었다. 불행히도 그는 당선된 지 5 개월 만에 암살당했다. 피타고라스 정리의 증명은 그가 1876 에서 제기한 것이다.

개인적으로 증명 3 에는 이점이 없다고 생각한다. 그것은 실제로 증명 2 의 숫자를 반으로 자르는 것을 제외하고는 증명 2 와 같다! 더군다나 사다리꼴 면적 공식이 정사각형 면적 공식보다 간단하다고 생각하지 않습니다!

또한 한 선생님의 관점에서 II 와 증명 III 모두 같은 단점을 가지고 있다면, 항등식 (A B) 2 = A2 2AB+B2 에 도달해야 한다. 이 신분은 일반적으로 고등학교 2 학년 수업에 포함되어 있지만, 많은 학생들이 완전히 파악하지 못했다. 위의 두 가지 증명서가 사용되었기 때문에, 가르치는 동안 학생들은 종종 이해할 수 없고 따라갈 수 없다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 공부명언)

증거 4

(a) (b) (c)

그림 5

그림 5 (a) 와 같이 직각 삼각형을 먼저 그린 다음 가장 짧은 직각 옆에 있는 삼각형 가장자리에 사각형을 추가하여 명확성을 위해 빨간색으로 표시합니다. 다른 직각 가장자리 아래에 사각형을 하나 더 추가하여 파란색으로 표시합니다. 다음으로 그림 5 (b) 와 같이 경사진 변의 길이로 정사각형을 그립니다. 우리는 빨간색과 파란색 두 정사각형의 면적 합계가 경사진 가장자리에 그려진 정사각형의 면적과 정확히 같다는 것을 증명할 계획이다.

그림 5 (b) 에서 경사진 정사각형을 추가하면 빨간색과 파란색의 일부 부분이 경사진 정사각형의 범위를 벗어납니다. 이제 범위를 벗어난 부분을 각각 노란색, 보라색, 녹색으로 표시하겠습니다. 또한 경사진 정사각형에는 채우기 색상이 없는 부분도 있습니다. 이제 그림 5 (c) 의 방법에 따라 범위를 벗어난 삼각형을 채워지지 않은 영역으로 이동합니다. 우리는 범위를 벗어난 부분이 마침 채워지지 않은 곳을 메웠다는 것을 발견했다! 이에 따라 그림 5 (a) 의 빨간색과 파란색 면적의 합은 그림 5 (c) 의 경사진 정사각형의 면적과 같아야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이로써 우리는 피타고라스 정리를 증명했다.

이 증거는 삼국 시대 위국 수학자 유휘가 제기한 것이다. 위경원 4 년 (기원 263 년), 유휘는 고서' 구장 산수' 에 주석을 달았다. 주석에서 그는 그림 5 (b) 와 비슷한 그림을 그려 피타고라스의 정리를 증명했다. 그는' 녹색아웃' 과' 주출' 을 사용하여 노랑, 보라색, 녹색의 세 부분을 나타내고,' 녹색입' 과' 주입' 을 사용하여 경사진 정사각형의 빈 부분을 채우는 방법을 설명했기 때문에, 나중에 수학자들은 이런 그림을' 녹색입출' 이라고 불렀다. 어떤 사람들은' 보완' 이라는 단어를 사용하여 이 증명의 원리를 표현한다.

역사적으로, 유휘만이' 보완 출입' 원리로 피타고라스 정리를 증명하는 유일한 사람은 아니다. 예를 들어 인도에서는 아랍 세계, 심지어 유럽에서도 비슷한 증거가 나왔지만, 그들이 그린 그림은 유휘의 모습과 약간 다를 수 있다. 아래 그림 6 은 그림 5 (b) 와 그림 5 (c) 의 조합입니다. 나는 이미 삼각형 밖에 작은 정사각형을 다시 그렸다. 그림 6 을 보십시오. 우리는 비슷한 그래픽을 본 적이 있습니까?

그림 6

사실 그림 6 은 그림 1 이 아닙니까? 그것은 단지 다른 각도에서 그림 1 을 그렸다. 물론 분방하는 방법이 다르다.

참, 이전의 증명과 증명사 사이에는 뚜렷한 차이가 있다. 증명 4 중 계산이 없는 부분이 없고, 전체 증명은 단지 몇 개의 숫자를 움직여서 얻은 것이다. 계산 단계가 없는 이러한' 증명' 을 받아들일지 모르겠지만, 저는 이런' 무자증명' 을 좋아합니다.

그림 7

수많은 종류의' 무자증명' 중에서 나는 두 가지를 가장 좋아한다. 그림 7 이 그 중 하나입니다. 방법은 수직선과 수평선을 나누어 직각이 큰 정사각형을 네 점으로 나누는 것이다. 그런 다음 그림 7 의 색상에 따라 두 개의 직각 정사각형을 대각선 정사각형으로 채우면 정리의 증명이 완성된다.

사실 비슷한' 수수께끼' 가 한 증거가 아직 많은데, 여기에는 일일이 기록할 의향이 없다.

또 다른' 무자증명' 은 다음과 같은 방법으로 가장 교묘하고 간단한 것으로 간주될 수 있다.

증거 5

(a) (b)

그림 8

그림 8 (a) 은 그림 2 와 마찬가지로 네 개의 직각 삼각형을 하나의 큰 정사각형에 놓는다. 그림에서 연한 노란색 부분의 면적은 C2 와 같습니다. 이제 그림 8 (a) 에 있는 네 개의 직각 삼각형을 그림 8 (b) 로 이동합니다. 그림 8 (b) 에서 두 개의 연한 노란색 정사각형의 면적 합계는 a2+b2 여야 합니다. 그러나 (A) 와 (B) 의 큰 정사각형이 같고 네 개의 직각 삼각형이 동일하기 때문에 나머지 두 개의 연한 노란색 부분의 면적도 같아야 하기 때문에 우리는 a2+b2 = C2 를 얻어 피타고라스 정리를 증명했다.

이 증거의 유래에 대해 여러 가지 설이 있다: 어떤 사람들은 중국에서 온 고대 수학 책 한 권을 말한다. 어떤 사람들은 피타고라스가 그 해에 이 증거를 했다고 생각하여, 그는 100 마리의 소를 도살하여 축하했다. 결론적으로, 나는 이것이 많은 증명 중 가장 간단하고 빠른 증명이라고 생각한다.

이 증거를 얕보지 마라, 그것은 사실 또 다른 의미를 담고 있어 사람들에게 쉽게 감지되지 않는다. 이제 위의 두 사진을 그림 9 에 "압착" 합니다.

(a) (b)

그림 9

그림 9 (a) 중간에 있는 연한 노란색 부분은 평행 사변형이며, 그 면적은 다음과 같이 구할 수 있습니다. Mn sin(a+b) 여기서 M 과 N 은 각각 두 직각 삼각형의 경사진 모서리 길이입니다. 그림 9 (b) 의 연한 노란색 부분은 (m cos a)(n sin b)+(m sin a)(n cos b) 의 면적을 합한 두 직사각형입니다. 위와 같이, (a) 와 (b) 의 연한 노란색 면적이 같기 때문에 두 공식을 결합하여 * * * * 의 배수를 제거하면, 우리는 sin(a+b) = sin a cos b+sin b cos a, sin a cos b+sin b cos a 원래 피타고라스 정리와 이 복각 공식은 같은 증명에서 나온 것이다!

두 번째 증명에서 (a+b)2 를 전개하는 방법을 소개한 후, 나는 (a-b)2 를 전개하는 방법인 조쾌의' 현도' 를 제안했다. 증명 5 에도 비슷한 상황이 있다. 여기에 우리는 (a+b) 와 비슷한' 무자증명' 과 (A-B) 와 비슷한' 무자증명' 이 있다. 이 방법은 인도의 수학자 바스카라가 개발한 것입니다. 1114-1185) 예:1

(a) (b)

그림 10

증거 6

그림 Xi

그림 1 1 에서 우리는 CD 를 사용하여 중간 직각 삼각형 ABC 를 두 부분으로 나눕니다. C 는 직각이고, d 는 AB 위에 있고, CD 는 AB 위에 있습니다. A = CB, b = AC, c = AB, x = BD, y = AD 를 설정합니다. 그림에서 세 개의 삼각형은 서로 매우 유사합니다. D DBC ~ D CBA ~ D DCA

= 및 =

그래서 a2 = CX, B2 = cy 를 얻습니다.

두 공식을 결합하면 우리는 a2+b2 = cx+cy = c(x+y) = C2 를 얻습니다. 정리 증명.

증명 6 은 이 글에서 면적 개념을 사용하지 않은 유일한 증거이기 때문에 매우 특별하다고 할 수 있다. 나는 몇몇 오래된 교과서에서 6 도 피타고라스 정리의 증명으로 사용되었다는 것을 증명한다. 그러나 이 증명은 비슷한 삼각형의 개념이 필요하고, 두 개의 삼각형이 뒤척이며, 상당히 복잡하기 때문에, 오늘의 교재에서는 이미 거의 사용되지 않아, 이미 점차 잊혀진 것 같다.

하지만 자세히 생각해 보면, 이 증명서는 사실 증명 1 (유클리드의 증명) 과 다르지 않다는 것을 알 수 있습니다! 이 증명서에는 면적이 언급되어 있지 않지만 a2 = CX 는 실제로 BC 의 정사각형 면적이 AB 와 BD 에 의해 형성된 직사각형의 면적, 즉 그림 1 의 노란색 부분을 의미합니다. 마찬가지로 B2 = cy 는 그림 1 의 짙은 녹색 부분입니다. 이 관점에서 볼 때, 두 증거의 원리는 같다!

증거 7

(a) (b) (c)

그림 12

그림 12 (a) 에서는 세 정사각형의 면적 사이의 직접적인 관계를 일시적으로 알지 못하지만, 두 개의 유사한 그래프의 면적 비율이 해당 변의 비율의 제곱과 같고 두 정사각형 중 하나가 비슷하기 때문에 면적 I: 면적 II: 면적 III = a2: b2: C2 있습니다.

그러나 자세히 생각해 보면 상술한 추론에서' 방' 의 요구가 불필요하다는 것을 알 수 있다. 사실, 그림 12 (b) 의 반원이나 그림 12 (c) 의 기이한 모양과 같이 비슷한 그래픽이라면, 서로 비슷하면 면적 I: 면적 II: 면적 III 는 A2 와 같습니다.

많은 유사 그래픽 중에서 가장 유용한 것은 원래 삼각형과 비슷한 직각 삼각형입니다.

(a) (b)

그림 13

그림 13 (a) 에서 중간 직각 삼각형의 세 변에 중간 삼각형과 비슷한 직각 삼각형 세 개를 그렸습니다. 참고: 세 번째 부분은 원래 삼각형만큼 크기 때문에 면적이 같습니다. 삼각형의 직각 정점에서 경사진 모서리까지 수직선을 그려 가운데 삼각형을 두 부분으로 나누면 그림 XIII (a) 의 면적 I 가 중간 삼각형의 왼쪽 면적과 정확히 같고 면적 II 가 오른쪽 면적과 정확히 같다는 것을 알 수 있습니다. 그림 13 (b) 에서 볼 수 있듯이 면적 I+ 면적 II = 면적 III 입니다. 또한 면적 I: 면적 II: 면적 III = a2: b2: C2, a2+b2 = C2 로 인해.

7 개의 증명 중, 나는 이것이 가장 교묘한 배치와 기묘한 수학 기교를 가지고 있다고 생각한다. 애석하게도 중학생에게 이 증명서는 파악하기 어렵다.

나는 이 증거가 어디서 왔는지 확실하지 않다. 내가 이 증명서를 처음 본 것은 대학 때 한 학생이 도서관에서 보고 나에게 알려준 것이다. 인상이 깊기 때문에, 오늘 기억이 생생하다.

유클리드' 기하학 원본' 제 6 권의 명제 3 1 은 이렇게 적혀 있다. "직각 삼각형 중 직각 가장자리에 그려진 도형은 직각 가장자리에 그려진 두 개의 이전 도형과 비슷하고 위치가 비슷한 도형의 합이다." 나는 7 을 증명하는 사람들이 이 명제를 참고해야 한다고 믿는다.

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그림을 보려면 아래 링크를 클릭하십시오.